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量子力學(xué)是以抽象思維為基礎(chǔ)，研究真實(shí)物理過程無法直接觀察的微觀客體的物理理論。如何將抽象復(fù)雜的量子理論形象化、可視化是人們探索研究的一個(gè)方向。近年來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，計(jì)算機(jī)三維重構(gòu)技術(shù)日趨成熟，結(jié)合計(jì)算物理學(xué)方法和計(jì)算機(jī)繪圖軟件的強(qiáng)大功能，使得抽象量子理論的可視化分析更加形象逼真1131.氫原子由于其結(jié)構(gòu)簡單，薛定諤方程可以嚴(yán)格求解，波函數(shù)可以寫成解析形式，因而不論在量子力學(xué)的研究還是分析原子分子結(jié)構(gòu)，揭示化學(xué)鍵本質(zhì)方面都有著及其重要的作用141.學(xué)者對(duì)氫原子波函數(shù)量子力學(xué)解一直做著深入的研究157，但由于理論相對(duì)比較抽象，氫原子波函數(shù)的可視化描述也同樣受到人們的關(guān)注。張建華等人曾用Origin6.0軟件繪制了氫原子波函數(shù)圖形1891，陳鍾賢用MC方法對(duì)氫原子電子云的模擬也做了簡單的探討110.本文利用Matlab軟件從不同的角度對(duì)氫原子各種狀態(tài)下的電子云分布進(jìn)行了可視化分析，直觀地揭示了氫原子電子云的幾率分布規(guī)律，為量子力學(xué)抽象波函數(shù)的可視化分析提供了思路。

　　1單電子體系的波函數(shù)單電子體系中電子在原子核勢(shì)場中球極坐標(biāo)下的薛定諤方程為111121：基金項(xiàng)目：西安理工大學(xué)?；痦?xiàng)目（108210309）。

　　ma（lemigxaut.e（lu.cn施衛(wèi)（1957），男，浙江金華人，教授，博導(dǎo)，研究方向?yàn)楣虘B(tài)電子器件的設(shè)計(jì)和研制。E設(shè)Xr0，外=R（r）Y（e，句，根據(jù)分離變量法求解可得徑向角分布函數(shù)式（2）以及球諧函數(shù)式（3）：其中歸一化可得：根據(jù)氫原子的定態(tài)薛定諤方程的波函數(shù)解，就可以討論氫原子內(nèi)電子在空間各點(diǎn)的幾率分布情況，但此物理模型非常抽象，不易理解。

　　下面利用Matlab軟件分別從徑向、角度和空間三個(gè)方面對(duì)氫原子電子云的分布情況進(jìn)行可視化分析和討論。

　　2氫原子電子云的分布將式（4）對(duì)e從1，對(duì)從-及積分，并注意到Y(jié)/，m（0，朽是歸一化的，便可得到在半徑r到r+dr的球殼內(nèi)找到電子的幾率是：利用Matlab繪制氫原子各狀態(tài)下徑向波函數(shù)Rn/（r）和徑向幾率分布函數(shù)D（r）=r2R2（r）曲線a'、b'、c、d'和e'分別為對(duì)應(yīng)的徑向幾率分布函從可以看出：氫原子在原點(diǎn)處的電子云密度zui大，并隨半徑r的增大作指數(shù)衰減；徑向分布函數(shù)Rn，/（r）有節(jié)點(diǎn)，即在某些r值（r乒0）處，Rn，/（r）=0，且節(jié)點(diǎn)數(shù)與電子狀態(tài)量子數(shù)相關(guān)。例如對(duì)R20（r），有1個(gè)節(jié)點(diǎn)（見a）對(duì)R30（r），有2個(gè)節(jié)點(diǎn)（見b）。

　　/（r）是歸一化的，可以得到電子在（0外方向附近立體角dfi=內(nèi)的幾率為bookmark7從可看出，各種不同狀態(tài)下氫原子的角度電子幾率密度的大小，其中顏色深表示電子幾率密波函數(shù)與其角度幾率分布函數(shù)圖樣形狀基本一致，度大。從空間幾率分布切片圖可以更加直觀地看出氫原子的狀態(tài)不同，其電子云的角度分布方向與形氫原子電子云的分布情況。比如b作出了n=處的切片圖?？梢钥闯鰣D形為兩個(gè)濃球冠和三維空間上的電子概率密度分布為：一個(gè)稀薄的球帶環(huán)，濃球冠中心在z軸上，球帶環(huán)在Wn，/，m（r，e，二X/m（r，e，2（7）z=0平面上，球冠和球帶環(huán)密度zui大處的半徑相利用Matlab軟件繪制氫原子各狀態(tài)下的空間等。由b'可以清晰地看出電子出現(xiàn)在球帶環(huán)的幾率分布切片圖見。切片圖上顏色的深淺表示概率是比較小的。

　　3結(jié)果討論通過對(duì)不同狀態(tài)下氫原子電子云的徑向、角度和空間分布的可視化分析，使得人們對(duì)氫原子電子云的分布規(guī)律有了更加系統(tǒng)直觀地理解。

　　對(duì)于s態(tài)電子，IY，m2為常數(shù)，故電子云與角度9、的大小無關(guān)，其電子云的形狀應(yīng)該是球形的。

　　但從可知，s態(tài)的電子云不是一個(gè)空心球而是一個(gè)中心處電子云密度zui大的實(shí)心球。如果取高于某個(gè)概率密度值的空間為電子云二球體并把這個(gè)密度值稱為邊界密度，繪制電子云如a由此可以直觀地看出電子云的分布規(guī)律。對(duì)于不同的狀態(tài)，即主量子數(shù)n取不同的值，其電子云密度分布是不相同的。如所示，其分布并不一定是單調(diào)遞減的，而是在減為零后又有可能發(fā)生變化（如圖lb'），此后還形成了兩個(gè)峰。若取合適的邊界密度就會(huì)在實(shí)心電子云球體外出現(xiàn)同心的電子云球殼，但這些球殼的電子云密度要比中心處小得多。盡管這些電子云密度都是在原點(diǎn)處zui大，但是由圖la'、b'可知，電子出現(xiàn)在半徑為r處的概率zui大處不是在原點(diǎn)。因?yàn)槿绻紤]以半徑r為參數(shù)的概率分布，就要考慮半徑為r的球面，雖然越接近原點(diǎn)電子云密度越大，但是球面的面積以r-2減小。

　　對(duì)于p電子，盡管電子概率密度隨角度變化的關(guān)系與a'類似，但電子云的分布形狀并不是傳統(tǒng)認(rèn)為的紡錘形，因?yàn)檫€要考慮電子的徑向概率分布，總的概率分布是二者的乘積。c作出了n=1，/=l，m=1的p電子云的空間分布在x=，少=0，z=0的切片圖，根據(jù)切片圖上顏色的深淺可直觀地看出其電子概率密度的大小分布。

　　量子力學(xué)中以電子在各處出現(xiàn)的概率來描述電子的狀態(tài)，摒棄了軌道的概念。但從氫原子電子云的可視化分析中還可以清晰地看到軌道的痕跡，與軌道理論不同的是這里的軌道比較寬，不是軌道理論上的線性，且比電子本身線度要寬得多。

　　通過對(duì)氫原子電子云的可視化分析，可以形象地認(rèn)識(shí)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)形態(tài)和量子理論抽象的波函數(shù)概率波解釋；同時(shí)為分析其他原子乃至分子的結(jié)構(gòu)和組成原理，解決實(shí)際問題，提供了一種可行的研究思路和方法。北京富瑞恒創(chuàng)科技有限公司。